一、选择题

1.

已知,若在上恒成立,则实数的取值范围是(  )

A.          B.          C.         D.

2.

设f(x)是定义在R上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最大值是（    ）

A．－1         B．       C.         D．

3.

水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面的容器中，则此容器里水的高度与时间t的函数关系图象是（    ）

4.

如图所示，阴影部分的面积S是h的函数（），则该函数的图象是（    ）

A．             B．            C.               D．

5.

函数的零点所在的一个区间是（    ）

A．(－1,0)         B．(0,1)       C.(1,2)         D．(2,3) 

6.

已知函数，则（    ）

A．         B．       C．3        D．－3 

7.

函数的零点个数为（  ▲  ） 

A．0    B．1C．2 D．3

8.

已知函数f(x)满足，则函数f(x)的图象不可能发生的情形是（     ）

A                  B                     C                   D

9.

已知函数（其中），对于不相等的实数，设，，现有如下结论：①对于任意不相等的实数，都有；②存在实数a，对于任意不相等，都有；③当时，存在不相等的实数，使得，其中正确的是（    ）

A．①   B．①②   C．②③   D．①③

10.

设函数 ，则下列结论错误的是（    ）

A．f(x)的值域为{－1,1}                   B．f(x)是非奇非偶函数   

C．对于任意，都有    D．f(x)不是单调函数

二、填空题

11.

已知函数，，若方程有且只有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是          ．

12.

已知关于x的方程在(－2,+∞)上有3个相异实根，则实数a的取值范围是          ．

13.

设，则的最大值为          ．

14.

已知，要使函数在区间[0,4]上的最大值是9，则m的取值范围是          ．

15.

已知定义在R上的函数f(x)恒满足，且f(x)在[1,+∞)为单调减函数，则当           时，f(x)取得最大值；若不等式成立，则m的取值范围是          ．

16.

关于x的方程，给出下列四个判断：

①存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；

②存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；

③存在实数k，使得方程恰有6个不同的实根；

④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；

其中正确的为___ ▲ ___（写出所有判断正确的序号）.

三、解答题

17.

已知函数f(x)对任意实数x，y恒有且当，，又．

（1）判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；

（2）若任意，不等式成立，求实数m的取值范围；

（3）若求实数n的取值范围。

18.

已知函数，其中.

（1）判断并证明函数f(x)的奇偶性；

（2）判断并证明函数f(x)在(－4,4)上的单调性；

（3）是否存在这样的负实数k，使对一切恒成立，若存在，试求出k取值的集合；若不存在，说明理由.

19.某医药研究所开发的一种药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线.（当时，） 

（Ⅰ）写出第一次服药后y与t之间的函数关系式； 

（Ⅱ）据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效时间. 

20.

（本小题12分）

近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为f(x)（单位：万元）。

（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；

（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？

21.

已知函数.

（1）当，时，求满足的的值；

（2）若函数f(x)是定义在R上的奇函数. 

①存在，使得不等式有解，求实数k的取值范围；

②若函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值.

试卷答案

1.B

2.B

3.C

4.

A

观察图，可知阴影部分的面积S随h的增大而减小，排除B和C.

由于图形的宽度上小下大，所以S的变化率随h的增大而减小，排除D.

故选A.

5.

D

因,则函数零点所在的区间是,应选答案D．

6.

B

由题可知，，

故选B.

7.D

8.

C

将选项C第三象限的图像向右平移一个单位再作关于 轴对称所得的图像不与第一象限的原图像重合，反之其它选项的图像可以，故C错误，应选C.

9.

D

表示函数图象上任意两点连线的斜率，同理表示函数图象上任意两点连线的斜率.由于是减函数，所以①正确；左减右增，所以②错误；由于两个函数图像有两个交点，此时这两个交点连线斜率相同，故③正确.

10.

B

A：由函数性质可知，的值只能取1，-1，所以值域为，正确；

B：当为有理数时，也是有理数，则；同理可得，当为无理数时，也满足，所以时，均有，为偶函数，错误；

C：当为有理数时，也是有理数，则；同理可得，当为无理数时，也满足，所以时，均有，正确；

D：由函数性质易知，不是单调的，正确；

故选B。

11.    

12.

∵方程在上有3个相异实根，

∴函数与的图象在上有三个不同交点，

在坐标系中画出函数的图象，由图象可知，在上，函数与有两个不同的交点，在上，函数与有一个交点

∵ ，

联立，整理得，

∴ ，即，解得

∴实数a的取值范围为

13.

1

由，解得或

 ，

 ，

函数图象如图所示，当时取得最大值1.

故答案为1.

14.

不等式即：，等价于：

结合函数的定义域可得：，

据此可得：，

即的取值范围是.

15.

1,(0,2)

由可知，存在对称轴，又在单调递减，则在单调递增，所以，取到最大值；

由对称性可知，，

所以，得，即的范围为。

16.

①②③

17.

（1）在条件中，令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0  ……………1分

再令y＝－x，则；  …………………………………2分

故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数.       ……………………………3分

（2）解：设，∵当，∴，

∵，………………………4分

∴，即，

∴f（x）为减函数.                             ……………………………5分

∴　

，………………………6分

∴                                              　

若任意，不等式成立       ………7分

（3）由（2）知，则，所以

即为，因为在上单调递减

所以，所以，所以的取值范围是

18.

解：（1）∵，

∴是奇函数.

（2）在上为减函数.

证明：任取且，

则

，

∵，

∴，

得，得到，

∴在上为减函数；

（3）∵，

∵在上为减函数，

∴对恒成立

由对恒成立得：

对恒成立，

令，

∵，∴，

∴，得，

由对恒成立得：

，由对恒成立得：，

即综上所得：，

所以存在这样的，其范围为.

19.

（Ⅰ） 

（Ⅱ）小时 

20.

（1）当时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元

 所以总收益 =43.5（万元）  ……………4分

（2）由题知，甲城市投资万元，乙城市投资万元        ……………5分

所以  

依题意得，解得                   

故                    ……………8分

令，则

所以 

当，即万元时， 的最大值为44万元         ……………11分

故当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，

总收益最大，且最大收益为44万元                           ……………12分

21.

解：（1）因为，，所以，

化简得，解得（舍）或，

所以.

（2）因为是奇函数，所以，所以，

化简变形得：，

要使上式对任意的成立，则且，

解得：或，因为的定义域是，所以舍去，

所以，，所以.

①

对任意，，有：，

因为，所以，所以，

因此在上递增，

因为，所以，

即在时有解，

当时，，所以.

②因为，所以，

所以，

不等式恒成立，即，

令，，则在时恒成立，

因为，由基本不等式可得：，当且仅当时，等号成立，

所以，则实数的最大值为.